TERCERO

BLOQUE 1

o    Tema 

Patrones y ecuaciones

o    Objetivos

·         Reconocer ecuaciones de segundo grado.

·  Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita en forma numérica.

·         Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.

o    Contenidos/ Subtemas 

1.Problemas al cuadrado.Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

 o    Actividades de aprendizaje 
Las actividades propuestas por el libro de texto

o    Forma de evaluación/instrumentos 

Se proporcionará una rúbrica con los aspectos a evaluar en cada bimestre.

Material bibliográfico recomendado

Curso de matemáticas 3 º  PRECIADO -TORAL, Editorial Progreso

o    Videos o podcast 

https://www.youtube.com/watch?v=hAL4hx26n60

https://www.youtube.com/watch?v=FTAyKcvWFnY
https://www.youtube.com/watch?v=at8YGH8jl8k
https://www.youtube.com/watch?v=9Lc3r-ciuqY
https://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI

o    Ligas a sitios de interés sobre el tema 

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html

TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS

Objetivos:

a) Clasifica las ecuaciones de segundo grado en completas e incompletas

b) Resuelve ecuaciones de segundo grado por el método de factorización

c) Aplica el método de factorización en la solución de problemas

d) Argumenta  resultados  y lo valida.

Contenido:

a)    Raíces de una ecuación cuadrática

b)    Método de factorización de una ecuación cuadrática

Lección: Un método para resolver  ecuaciones cuadráticas.

INICIO

Historia de  las ecuaciones cuadráticas 

https://www.youtube.com/watch?v=6AOaT2DOoHg

Una ecuación cuadrática es una igualdad en la que el máximo exponente de la     variable  es 2, una vez realizadas las simplificaciones correspondientes.

    Una ecuación cuadrática completa es una  igualdad de la forma   ax² + bx + c=0   y tiene tres términos:

Un término cuadrático= ax²

Un término lineal o de primer grado= bx

Un término independiente = c  (un número cualquiera)

Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en : pura , mixta y completa, en una ecuación cuadrática puede faltar el término b o el término c, pero no puede faltar el término “a” porque dejaría de ser una ecuación de segundo grado para transformarse en una ecuación de primer grado.

          

Un método más rápido que la fórmula general  para resolver una ecuación de segundo grado es la factorización, en este caso  analizaremos primero las ecuaciones  del tipo  x² + b x + c= 0 cuando el valor de a= 1 

¿En qué consiste resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática?

Resolver una ecuación consiste en buscar los valores concretos de “x” para los cuáles se verifica la ecuación.

DISTINGUIMOS TRES CASOS:

CASO 1.)  Si en la ecuación general, tenemos  c = 0, es decir, no hay término independiente, resulta la ecuación de segundo grado:

    ax² + bx =0

A este tipo de ecuaciones se les da el nombre de ecuaciones mixtas.

Pasos:

Siempre podremos sacar factor común, al menos, de x, o también utilizar el máximo común divisor de los valores de  a  y  b. Para nuestro caso, solo utilizaremos x como factor común.

Recordando  que en el producto de números reales, para que el resultado de un producto sea cero, siempre uno de los factores debe ser cero, tenemos que:

 Se utiliza la “x”  como factor común, una vez factorizado se iguala cada factor a cero para obtener las soluciones

   

 x ( ax + b) =0   donde   "a"  y "b" son números

x₁ =0             a x + b=0  

                         a x =-b

                         x ₂ = -b/a

Ejemplo:

7x² - 28 x=0

Sacar a la “x” como factor común de la expresión

x (7x – 28)=0

Cada factor se iguala a cero

X=0                                                                   7x – 28=0  despeja “x”

X₁ =0                                                                  7x= 28   x= 28/7

Siempre una solución es cero.                        X ₂₌  4

 Ejercicios: Calcula las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas Mixtas.

a)   2x² + 16 x=0                        b) 3x² = -12x                 c) 5x² – 30x=0

Sol. X₁=0, x₂=-8                Sol. X₁=0, X₂= -4           sol. X₁=0, X₂=6

   CASO 2.)  Si  b = 0,  tenemos la ecuación de segundo grado: 

ax² + c =0

Este  tipo de ecuaciones  recibe el nombre de ecuación pura  y las raíces o soluciones son iguales y de signo contrario, no se resuelve por factorización, sino por despeje de la variable

    ax²= -c

     x² = -c/a    donde  "c"  y "a"  son números 

Extrayendo la raíz cuadrada, resultando:    x= ±√(-c/a)

Ejemplo  3x² - 12=0

Despejando 3x² = 12

                     x²= 12/3

                    x= ±√ 4  =     x= 4     x= -4    ambas soluciones

 CASO 3) ECUACIONES DEL TIPO X² + b X + c=0   

En este caso a =1

Para este tipo de ecuaciones hay una técnica de factorización sencilla.

Ejemplo: Encuentre las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática  x²  + 9 x + 20=0

Paso1) Primero se calcula la raíz cuadrada del término cuadrático y se escribe en un par de paréntesis.

                S        M

      x²  + 9 x + 20= ( x        )  (x          )

    √x² =x

Paso 2. Se buscan dos números que cumplan dos condiciones, que sumados sean igual al coeficiente del término lineal (9)  y multiplicados  al termino independiente (20).

Los  números buscados son  4 y 5

Porque   4 + 5 = 9        y   4(5)= 20, se escriben dentro de los paréntesis.

  x²  + 9 x + 20= ( x +4)  (x + 5) .

Paso 3. Una vez factorizado se iguala a cero cada factor y se despeja el valor de cada “x”.

X+4 =0               x+5 =0

X₁= -4                X₂= -5

Puedes  practicar con el solucionador de ecuaciones

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html